Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2 Solutions
Question - 1 : - दी गई आकृति में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AE ⊥ DC तथा CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है तो AD ज्ञात कीजिए।
Answer - 1 : -
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें AB = CD और इन समान्तर भुजाओं के बीच की लाम्बिक दूरी = AE
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = CD x AE [CD = AB = 16 सेमी] = 16 x 8 = 128 वर्ग सेमी
पुनः समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और AD || BC के बीच की लाम्बिक दूरी = CF
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AD x CF
AD x CF = 128 वर्ग सेमी
AD x 10 = 128
AD = 128 = 12.8 सेमी [CF = 10 सेमी]
अत: AD= 12.8 सेमी।
Question - 2 : - यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = 
ar (ABCD) है।
Answer - 2 : -
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें बिन्दु E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज की भुजाओं AB, BC, CD व DA के मध्य-बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है : ar (EFFG) = ar (ABCD)
रचना : EG को मिलाइए।
उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AB = CD और AB || CD
E, AB को मध्य-बिन्दु है और G, CD कां मध्य-बिन्दु है।
AE = EB = AB
DG = GC = CD
तब, AE = DG और AE || DG [AB = CD]
AEGD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AEGD और ∆EGH उभयनिष्ठ आधार EG पर स्थित हैं। इनके शीर्ष A, D व में एक ही रेखा पर हैं जो EG के समान्तर है।
∆EGH का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज AEGD का क्षेत्रफल …(1)
इसी प्रकार,
∆EGF का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज EBCG का क्षेत्रफल …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
∆EGH का क्षेत्रफल + ∆EGF का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज AEGD का क्षेत्रफल x समान्तर चतुर्भुज EBCG का क्षेत्रफल
EFGH का क्षेत्रफल = [समान्तर चतुर्भुज AEGD का क्षेत्रफल + समान्तर चतुर्भुज EBCG का क्षेत्रफल]
= x समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
अतः ar (EFGH = ar (ABCD)
Proved.
Question - 3 : - P और Q क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं दर्शाइए कि ar (APB)= ar (BQC) है।
Answer - 3 : -
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु क्रमश: P और Q हैं।
रेखाखण्ड AP व BP और BQ व CQ खींचकर दो त्रिभुज APB और BQC प्राप्त किए गए हैं।
सिद्ध करना है : ar (∆APB) = ar (∆BQC)
अर्थात ∆APB का क्षेत्रफल = ∆BQC का क्षेत्रफल।
रचना : P से AB पर लम्ब PR और Q से BC पर लम्ब QS खींचे।
उपपत्ति : समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
AB || DC और इनके बीच की लम्ब दूरी PR है।
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = एक भुजा x उस भुजा की सम्मुख भुजा से लम्ब दूरी
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB x PR …(1)
और ∆APB का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x AB x PR….(2)
तब, समीकरण (1) व (2) से,
∆APB का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
पुनः समान्तर चतुर्भुज ABCD में, BC || AD और इनके बीच की दूरी QS है।
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = एक भुजा x उस भुजा की सम्मुख भुजा से लम्ब दूरी = BC x QS
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = BC x QS
परन्तु ∆BQC का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x BC x QS…(5)
तब, समीकरण (4) व (5) से,
∆BRC का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल …(6)
अब, समीकरण (3) व (6) से,
∆APB का क्षेत्रफल = ∆BQC का क्षेत्रफल
या ar(APB) = ar(BQC)
Proved.
Question - 4 : - संलग्न आकृति में, P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD) (ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
Answer - 4 : -
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके अभ्यन्तर में स्थित एक बिन्दु P है।
रेखाखण्ड PA, PB, PC और PD खींचे गए हैं।
जिससे चार त्रिभुज ∆APB, ∆PBC, ∆PCD और ∆APD प्राप्त होते हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (∆APB) + ar (∆PCD)
रचना : P से AB पर लम्ब PQ तथा CD पर लम्ब PR खींचिए।
उपपत्ति :
(i) समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = भुजा x सम्मुख भुजा की लाम्बिक दूरी
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB x (PQ + PR) ……(1)
∆APB का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x AB x PA
∆PCD का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x DC x PR
जोड़ने पर,
∆APB का क्षेत्रफल + ∆PCD का क्षेत्रफल = (AB x PQ +DC x PR) का क्षेत्रफल
= (AB x PQ + AB x PR) (समान्तर चतुर्भुज ABCD में DC = AB)
= AB (PQ +PR)
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफले (समीकरण (1) से)
अत: ∆APB का क्षेत्रफल + ∆PCD का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)
Proved.
(ii) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)
2 [ar(APB) + ar (PCD)] = ar (ABCD)
2 ar (APB) + 2 ar (PCD) = ar (APB) + ar (PBC)+ ar (PCD) + ar (APD)
2ar (APB) + 2 ar (PCD) – ar (APB) – ar (PCD) = ar (PBC) + ar (APD)
ar (APB) + ar (PCD) = ar (APD) + ar (PBC)
अत: ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
Proved.
Question - 5 : - दी गई आकृति में, PQRS और ABRS दो समान्तर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar(ABRS)
(ii) ar (AXS) = ar (PQRS)
Answer - 5 : -
दिया है : PQRS तथा ABRS दो समान्तर चतुर्भुज है जिनका PA उभयनिष्ठ आधार RS है।
भुजा BR पर कोई बिन्दु X है। रेखाखण्ड AX तथा SX खींचे गए हैं जिससे ∆AXS प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है :
(i) ar(PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ar (PQRS) रचना : बिन्दु A से आधार SR पर लम्ब AE खींचिए और बिन्दु X से AS पर लम्ब XF खींचिए।
उपपत्ति :
(i) समान्तर चतुर्भुज PQRS में, PQ || RS और इनके बीच की लम्ब दूरी = AE है।
समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = एक भुजा x उस भुजा की सम्मुख भुजा से लम्ब दूरी = SR x AE …..(1)
ar (PQRS) = SR x AE
समान्तर चतुर्भुज ABRS में,
AB || RS और इसके बीच की दूरी = AE है।
समान्तर चतुर्भुज ABRS का क्षेत्रफल = एक भुजा x उस भुजा की सम्मुख भुजा से लम्ब-दूरी = SR x AE ……(2)
ar (ABRS) = SR x AE
तब समीकरण (1) व (2) से,
ar (PQRS) = ar (ABRS)
Proved.
(ii) ABRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
BR || AS और इनके बीच की लम्ब दूरी = XF
समान्तर चतुर्भुज ABRS का क्षेत्रफल = एक भुजा x उस भुजा से सम्मुख भुजा की लम्ब-दूरी = AS x FX …..(3)
ar (ABRS) = AS x (FX)
∆ AXS का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x AS x FX
तब, समीकरण (3) से,
∆AXS का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज ABRS का क्षेत्रफल
ar (AXS) = ar (ABRS)
परन्तु हम सिद्ध कर चुके हैं कि ar (ABRS) = ar (PQRS)
अत: ar (AXS) = ar (PQRS)
Proved.
Answer - 6 : - माना किसान के पास चित्रानुसार PQRS समान्तर चतुर्भुज के आकार का एक खेत है। किसान ने भुजा RS पर एक बिन्दु A चुनकर उसे P तथा Q से मिला दिया।
खेत तीन त्रिभुजाकार भागों में विभाजित हो गया है। ये भाग ∆PSA, ∆PAQ तथा ∆QAR हैं।
किसान को गेहूँ और दालें बराबर क्षेत्रफलों में बोनी हैं इसलिए P से सम्मुख भुजा SR पर PN लम्ब डाला गया है।
∆PAQ का क्षेत्रफल = x आधार x क्षेत्रफल = x PQ x PN
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। PQ = RS
तब, ∆PAQ का क्षेत्रफल = x RS x PN(PQ = RS)
∆PAQ का क्षेत्रफल = (SA + AR)x PN (RS = SA + AR)
= x SA x PN+ x AR x PN
= ∆PSA का क्षेत्रफल + ∆QAR का क्षेत्रफल
अत: किसान को ∆PAQ क्षेत्रफल में गेहूँ और ∆PSA तथा ∆QAR के क्षेत्रफल में दालें बोना चाहिए।