Chapter 3 आव्यूह (Matrices) Ex 3.1 Solutions
Question - 1 : - यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 13 अवयव हों, तो कोटियाँ क्या होंगी?
Answer - 1 : -
24 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी।
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6, 6 x 4, 8 x 3, 12 x 2, 24 x 1
13 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी
1 x 13, 13 x 1
Question - 2 : - 3×3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
Answer - 2 : - बहुविकल्पीय प्रश्नावली के प्रश्न 2 का हल देखें।
Question - 3 : - आव्यूह के लिए ज्ञात कीजिए
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a13, a21, a33, a24, a23
Answer - 3 : -
(i) चूँकि आव्यूह में 3 पंक्ति तथा 4 स्तम्भ हैं।
∴ आव्यूह की कोटि = 3×4
(ii) आव्यूह में अवयवों की संख्या = पंक्तियों की संख्या ४ स्तम्भों की संख्या
= 3 x 4 = 12
(iii) अवयव a13 = 19, a21 = 35, a33 =– 5, a24 = 12, a23 = 
Answer - 4 : -
24 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी।
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6, 6 x 4, 8 x 3, 12 x 2, 24 x 1
13 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी
1 x 13, 13 x 1
Question - 5 : - यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
Answer - 5 : -
18 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी
1 x 18, 2 x 9, 3 x 6, 6 x 3, 9 x 2, 18 x 1
5 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ होंगी 1 x 5, 5 x 1
Question - 6 : - एक 2 x 2 आव्यूह A = [aij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से दिए गए हैं।
Answer - 6 : - एक 2×2 क्रम का आव्यूह होगा |
Question - 7 : - एक 3×4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं
Answer - 7 : -
3×4 क्रम का आव्यूह होगा
Question - 8 : - निम्नलिखित समीकरणों से x,y तथा z के मान ज्ञात कीजिए
Answer - 8 : -
प्रत्येक खण्ड में दिये गए दोनों आव्यूह समान हैं।
(i) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x = 1, y = 4, z = 3
(ii) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x + y = 6 …(1)
5 + z = 5 ⇒ z = 0 …(2)
xy = 8 …(3)
समी० (1) व (3) को हल करने पर, x = 4, y = 2 या x = 2, y = 4
∴ x = 4, y = 2, 3 = 0, या x = 2, y = 4, z = 0
(iii) दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर,
x + y + 2 = 9 …(1)
x + 2 = 5 …(2)
y + 2 = 7 …(3)
समी० (2) और समी० (3) को जोड़ने पर, (x + y + z) + z = 12
9 + z = 12 ⇒ z = 3
समी० (2) से, x + 3 = 5 ⇒ x = 2
तथा समी० (3) से, y + 3 = 7 = y =4
अतः x = 2, y = 4, z = 3
Question - 9 : - यदिa,b,c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
Answer - 9 : -
आव्यूह युग्म समान हैं।
संगत अवयवों की तुलना करने पर,
2d + b = 4 …(1)
a – 2b = -3 …(2)
5c – d = 11 …(3)
4c + 3d = 24 …(4)
समी० (1) को 2 से गुणा करके (2) में जोड़ने पर,
5a = 5 ⇒ a = 1
a का मान समी० (1) में रखने पर,
2 x 1 + b = 4 ⇒ b = 4 – 2 = 2
समी० (3) को 3 से गुणा करके (4) में जोड़ने पर,
19c = 57 ⇒ c = 3
c का मान समी० (3) में रखने पर,
5 x 3 – d = 11 ⇒ d = 15 – 11 = 4
∴ a = 1, b = 2, c = 3, d= 4
Question - 10 : - A = [aij]mxn एक वर्ग आव्यूह है यदि
(a) m < n
(b) m > n
(c) m = n
(d) इनमें से कोई नहीं।
Answer - 10 : -
∵ वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के बराबर होती है।
∴ m = n
अत: विकल्प (c) सही है।