Chapter 2 संबंध एवं फलन (Relations and Functions) Ex 2.1 Solutions
Question - 1 : - 
Answer - 1 : -
Question - 2 : - यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो A x B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer - 2 : -
समुच्चयं A में 3 अवयव है और समुच्चय B में भी 3 अवयव हैं।
A x B में अंवयवों की संख्या = 3 x 3 = 9.
Question - 3 : - यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G x H तथा H x G ज्ञात कीजिए।
Answer - 3 : -
G = {7, 8}, H = {5, 4, 2} G x H = {7, 8} x {5, 4, 2}
= {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
तथा
H x G = {5, 4, 2} x {7, 8} = {(5, 7), (5, 8), (4,7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}
Question - 4 : - बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि P= {m, n} और 2 = {n, m} तो P x Q = {(m, n), (n, m)}.
(ii) यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो A x B क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्यय है इस प्रकार कि x ∈ A तथा y ∈ B.
(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A x (B ∩ Φ) = Φ
Answer - 4 : -
(i) दिया है :
P = {m, n}
Q = {n, m }
P x Q = {m, n} x {n, m} = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
अतः दिया गया P x Q = {(m, n), (n, m),} कथन असत्य है।
(ii) सत्य है क्योंकि A x B क्रमित युग्म (x, y) का अरिक्त समुच्चय है जिसमें
x ∈ A तथा y ∈ B.
(iii) सत्य है क्योंकि B ∈ Φ = Φ
A x (B ⊂ Φ ) = A x Φ = Φ.
Question - 5 : - यदि A= {-1, 1}, तो A x A x A ज्ञात कीजिए।
Answer - 5 : -
A = {(-1, 1)}
A x A = {-1, 1} x {-1, 1} = {(-1,-1), (-1, 1), (1,- 1), (1,1)}
A x A x A = {-1, 1} x {(-1, – 1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)} = {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}.
Question - 6 : - यदि A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
Answer - 6 : -
A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} = {a, b} x {x, y}
अतः A = {a, b}, B = {x, y}.
Question - 7 : - मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8} सत्यापित कीजिए कि
(i) A x (B ∩ C)= (A x B) ∩ (A x C)
(ii) A x C, B x D का एक उपसमुच्चय है।
Answer - 7 : -
दिया है। A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}
बायाँ पक्ष = A x (B ∩ C) {1, 2} x {{1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6}) = {1, 2} x Φ = Φ
दायाँ पक्ष = (A x B) ∩ (A x C)
= [{1, 2} x {1, 2, 3, 4}] ∩ [{1, 2} { {5, 6}]
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
= Φ
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
A x C = {1, 2} x {5, 6} = {{1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B x D = {1, 2, 3, 4} x {5, 6, 7, 8}
= {(1,5), (1,6), (1, 7), (1, 8), (2,5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
हम पाते हैं कि A x C के सभी अवयव समुच्चय B x D में स्थित हैं।
अतः A x C ⊂ B x D.
Question - 8 : - मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}. A x B लिखिए। A x B के कितने उपसमुन्। होंगें ? उनकी सूची बनाइए।
Answer - 8 : -
A x B = {1, 2} x {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A x B के उपसमुच्चयों की संख्या = 24 = 16
A x B के उपसमुच्चयों के अवयव = 6, {(1, 3)}, {(1,4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1,4)}, {(1, 3)
(2, 3)},{(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1, 4), (2,4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2,3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.
Question - 9 : - मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n(A) = 3 और n(B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A x B में हैं, तो A और B को ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
Answer - 9 : -
अवयव x, y, z ∈ A अर्थात् A = {x, y, z}
1, 2 ∈ B अर्थात् B = {1, 2}.
Question - 10 : - कार्तीय गुणन AXA में 9 अवयव हैं जिनमें (-1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय Aज्ञात कीजिए तथा A x A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
Answer - 10 : -
(-1, 0) ∈ A x A ⇒ -1 ∈ A और 0 ∈ A ⇒ -1, 0 ∈ A और
(0, 1) ∈ A ⇒ 0 ∈ A तथा 1 ∈ A
⇒ 0, 1 ∈ A
-1, 0, 1 ∈ A
A = {-1, 0, 1}
A x A = {-1, 0, 1} x {-1, 0, 1}
= {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1,-1), (1,0), (1,1)}
जिसमें (-1, 0), (0, 1) सम्मिलित है।
अत: A x A के शेष अवयव = (-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1,- 1), (1, 0), (1, 1).