Chapter 1 समुच्चय (Sets) Ex 1.3 Solutions
Question - 1 : - रिक्त स्थानों में प्रतीक ⊂या ⊄ को भर कर सही कथन बनाइए:
(i) {2, 3, 4} …. {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c}….. {b, c, d}
(iii) {x : x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है } …. {x : x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है।}
(iv) {x : x किसी समतल में स्थित एक वृत है} ….. {x : x एक समान समतल में एक वृत्त है। जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।}
(v) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} …. {x : x किसी समतल में स्थित एक आयत है।}
(vi) {x : x किसी संमतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} …… {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है।}
(vii) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} ……. {x : x एक पूर्णाक है}
Answer - 1 : -
(i) अवयव 2, 3, 4 ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
अतः {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c} का अवयव a ∉ {b, c, d}
अत: {a, b, c} ⊄ {b, c, d}
(iii) जो विद्यार्थी विद्यालय की कक्षा XI में हैं वे विद्यालय में भी हैं।
अतः {x : x विद्यालय की कक्षा XI का विद्यार्थी} ⊂ {x : x आपके विद्यालय का विद्यार्थी}
(iv) समुच्चय {x : x समतल में एक वृत्त} के एक अवयव वृत्त की त्रिज्या 1 से भिन्न हो सकती है।
अतः {x : x समतल में वृत्त} ⊄ {x : x वृत्त की त्रिज्या 1 इकाई है }
(v) त्रिभुजों का समुच्चय आयतों के समुच्चय से बिल्कुल भिन्न है।
अतः {x : x समतल में एक त्रिभुज} ⊄ {x : x समतल में एक आयत}
(vi) प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है।
अतः {x : x समतल में एक समबाहु त्रिभुज} ⊂ {x : x समतल में एक त्रिभुज}
(vii) प्रत्येक सम प्राकृत संख्या एक पूर्णाक है।
अतः {x : x एक सम प्राकृत संख्या} ⊂ {x : x एक पूर्णाक}
Question - 2 : - जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं:
(i) {a, b} ⊄ {b, c, a}
(ii) {a, e} ⊂ {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।
(iii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}
(iv) {a} ⊂ {a, b, c}
(v) {a} ⊂ {a, b, c}
(vi) {x : x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है। ⊂ {x : x एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है।
Answer - 2 : -
(i) समुच्चय {a, b} के अवयव a, b दासमुच्चय {b, c, a} में है।
{a, b} ⊄ {b, c, a}
अतः उपरोक्त कथन असत्य है।
(ii) a, e दोनों ही स्वर हैं।
{a, e} = {x : x, अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।
अतः यह कथन सत्य है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3} और {1, 3, 5} में अवयव 2 समुच्चय {1, 3, 5} नहीं है।
{1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5} कथने असत्य है।
(iv) a ∈ {a, b, c}
{a} ⊂ {a, b, c} यह कथन सत्य है।
(v) {4} समुच्चय है, अवयव नही है।
{a} } ∈ {a, b, c} कथन असत्य है।
(vi) सम प्राकृत संख्या 2, 4 संख्या 6 से कम है तथा 36 को विभाजित करती है।
{x : x एक सम प्राकृत संख्या है जो 6 से कम है} ⊂ {x : x एक सम प्राकृत संख्या 36 को विभाजित करती है। अतः यह कथन सत्य है।}
Question - 3 : - मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5}, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3, 4} ⊂ A
(i) {3, 4} ∈ A
(iii) {{3, 4}} ⊂ A
(iv) 1 ∈ A
(v) 1 ⊂ A
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A
(vii) {1, 2, 5} ∈ A
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A
(ix) Φ ∈ A
(x) Φ ⊂A
(xi) {Φ} ⊂ A
Answer - 3 : -
(i) सही नहीं है। समुच्चय {3, 4} एक अवयव है।
(ii) सही है। क्योंकि {3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है।
(iii) सही है। A के अवयव {3, 4} का एक उपसमुच्चय है।
(iv) 1 ∈ A, सही है।
(v) 1 ⊂ A सही नहीं है क्योंकि 1 एक समुच्चय नहीं है।
(vi) {1, 2, 5} ⊂ A सही है। समुच्चय {1, 2,5} के अवयव 1, 2, 5 समुच्चय A में है।
(vii) {1, 2, 5} ∈ सही नहीं है। {12, 5} अवयव नहीं है। यह एक समुच्चय है।
(viii) {1, 2, 3} ⊂ A सही नहीं है। अवयव 3 समुच्चय में नही है।
(ix) Φ ∈ A, सही नहीं है। Φ एक समुच्चय है, अवयव नहीं है।
(x) {Φ} ⊂ A सही है। सभी समुच्चयों का उपसमुच्चय है।
(xi) {Φ} ⊂ A सही नहीं है। {Φ} समुच्चय का समुच्चय है।
Question - 4 : - निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए।
(i) {a}
(ii) {a, b}
(iii) {1, 2, 3}
(iv) Φ
Answer - 4 : -
(i) Φ, {a}
(ii) Φ, {a}, {b}, {a, b}
(iii) Φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
(iv) Φ
Question - 5 : - P (A) के कितने अवयव हैं, यदि A = Φ
Answer - 5 : - A = Φ, P(A) = Φ इस प्रकार P (A) को 2° = 1 अवयव है।
Question - 6 : - निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
(i) {x : x ∈R, -4 < x ≤ 6}
(ii) {x : x ∈R, -12 < x < -10}
(iii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7}
(iv) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}
Answer - 6 : -
वांछित अंतराल इस प्रकार हैं।
(i) (-4, 6]
(ii) (-12, – 10)
(iii) [0, 7)
(iv) [3, 4]
Question - 7 : - निम्नलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i) (-3, 0)
(ii) [6, 12]
(iii) (6, 12]
(iv) [-23, 5]
Answer - 7 : -
(i) (-3, 0) = {x : x ∈ R, -3 < x < 0}
(ii) [6, 12] = {x : x ∈ R, 6 ≤ x ≤ 12}
(iii) (6,12] = {x : x ∈ R, 6 < x ≤ 12}।
(iv) [-23, 5] = {x : x ∈ R, -23 ≤ x ≤ 5}
Question - 8 : - निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
Answer - 8 : -
दोनों समुच्चयों के लिए सार्वत्रिक समुच्चय :
{x : x समतल में स्थित एक त्रिभुज}
Question - 9 : - समुच्चय A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} और C = {0, 2, 4, 6, 8} प्रदत्त हैं। इन तीनों समुच्चयों A, B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i) {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) Φ
(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Answer - 9 : -
समुच्चय (iii),
तीनों समुच्चय A, B, C के लिए {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} सार्वत्रिक समुच्चय हैं।