Chapter 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) Ex 6.2 Solutions
Question - 1 : - दी गई आकृति में, और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
Answer - 1 : -
दी गई आकृति में ऋजु रेखा AB पर एक तिर्यक (तिरछी) रेखा 50° के कोण पर झुकी है। तब, यह 50° का कोण और ∠x एक रैखिक (कोण) युग्म बनाते हैं।
50° + ∠x = 180°
∠x = 180° – 50° = 130°
पुनः ऋजु रेखा CD को एक अन्य तिर्यक ऋजु रेखा काटती है।
∠y और चित्र में बना 130° के कोण शीर्षाभिमुख कोण युग्म के कोण हैं जिससे
∠y = 130°
∠x और ∠y एकान्तर अन्त:कोण हैं और परस्पर बराबर भी हैं।
यह समान्तर रेखाओं को तिर्यक रेखा के काटने से बनेंगे
अत: ऋजु रेखा AB || CD
Question - 2 : - दी गई आकृति में, यदि AB || CD; CD || EF और y : 2 = 3: 7 है। तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer - 2 : -
दी गई आकृति में AB || CD और CD || EF
AB || EF
अब चूँकि AB || EF को एक तिर्यक ऋजु रेखा l काटती है जिससे एकान्तर कोण ∠x और ∠y बनते हैं।
∠x = ∠y ……(1)
AB || CD और एक तिर्यक रेखा l इन्हें काटती है जिससे ∠x और ∠y, तिर्यक रेखा l के एक ही ओर बने अन्त:कोण हैं।
∠x + ∠y = 180° …(2)
तब समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
∠y + ∠z = 180° ……..(3)
y : 2 = 3 : 7 तब माना y = 3k तथा z = 7k
y और z के ये मान समीकरण (3) में रखने पर,
3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
⇒ k = 18°
z = 7k = 7 x 18° = 126°
समीकरण (1) से,
∠x = ∠z और z = 126° .
∠x = 126°
अतः x = 126°
Question - 3 : - दी गई आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° हो तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
Answer - 3 : -
AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है।
∠AGE = ∠GED (एकान्तर कोण)
⇒ ∠AGE = 126° (∠GED = 126°)
⇒ ∠GED = 126°
⇒ ∠GEF + ∠FED = 126°
⇒ ∠GEF + 90° = 126° (∠ZFED = 90°)
⇒ ∠GEF = 126° – 90° = 36°
⇒ ∠GEF = 36°
पुनः AB एक ऋजु रेखा है और GE, उससे बिन्दु G पर मिलती है।
∠AGE और ∠FGE एक रैखिक कोण-युग्म बनाते हैं।
∠AGE + ∠FGE = 180°
⇒ 126° + ∠FGE = 180° (∠AGE = 126° अभी ऊपर ज्ञात किया है।)
⇒ ∠FGE = 180° – 126°
⇒ ∠FGE = 54°
अतः ∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°
Question - 4 : - दी गई आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° हो तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
Answer - 4 : -
दिया है : दी गई आकृति में PQ || ST , ∠PQR = 110° तथा ∠RST = 130°
ज्ञात करना है : ∠QRS की माप।
रचना : बिन्दु R से PQ के समान्तर एक ऋजु रेखा XY खींची।
विश्लेषण : PQ || XY (रचना से) और QR तिर्यक रेखा है जो इन्हें Q तथा R पर काटती है।
∠PQR और ∠QRX, QR के एक ही ओर बने अन्त: कोण हैं।
∠PQR + ∠QRX = 180°
⇒ ∠QRX = 180° – ∠PQR = 180° – 110° (ZPQR = 110°)
⇒ ∠QRX = 70°
अब :: PQ || XY रचना से और PQ || ST दिया है।
ST || XY
ST || XY और RS तिर्यक रेखा है।
∠SRY और ∠RST तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अन्त: कोण हैं।
∠SRY + ∠RST = 180°
⇒ ∠SRY + 130° = 180° (∠RST = 130°)
⇒ ∠SRY = 180° – 130°
⇒ ∠SRY = 50°
पुनः ∠QRX, ∠QRS और ∠SRY एक ही ऋजु रेखा के बिन्दु R पर रेखा XY के एक ही ओर बने हैं।
∠QRX + ∠QRS + ∠SRY = 180° (आकृति से)
⇒ 70° + ∠QRS + 50° = 180°
⇒ ∠QRS = 180° – 70° – 50° = 60°
अतः ∠QRS = 60°
Question - 5 : - दी गई आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है तो x और y ज्ञात कीजिए।
Answer - 5 : -
दिया है : ऋजु रेखा AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127°
ज्ञात करना है : x तथा y
विश्लेषण : AB|| CD और PQ एक तिर्यक रेखा है।
∠APQ = ∠PQR (एकान्तर कोण युग्म)
50° = x
x = 50°
पुनः AB || CD और PR एक तिर्यक रेखा है।
∠APR = ∠PRD (एकान्तर कोण युग्म)
∠APQ + ∠QPR = ∠PRD (∠APR = ∠APQ + ∠QPR, चित्र से)
50° + y = 127°
y = 127° – 50° = 77°
अतः x = 50° और y = 77°
Question - 6 : - दी गई आकृति में P और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (Incident Ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (Reflected Ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।
Answer - 6 : -
दिया है : दर्पण PQ || दर्पण RS तथा AB और BC दर्पण PQ के लिए क्रमश: आपतित और परावर्तित किरणें हैं। दर्पण RS के लिए आपतित किरण BC तथा परावर्तित किरण CD है।
BP’ दर्पण PQ के बिन्दु B पर तथा CQ’ दर्पण RS के बिन्दु C पर अभिलम्ब हैं।
सिद्ध करना है : AB || CD
उपपत्ति : BP’, बिन्दु B पर अभिलम्ब है;
अतः BP’ ⊥ PQ
और CQ’, बिन्दु C पर अभिलम्ब है;
अतः CQ ⊥ RS
PQ || RS
उक्त तीनों तथ्यों से BP’ || CQ’ और BC तिर्यक रेखा है।
∠P’BC = ∠Q’CB (एकान्तर कोण)
∠r1 = ∠i2 …..(1)
परावर्तन के नियमों से,
∠i1 = ∠r1 …..(2)
∠i2 = ∠r2 ……(3)
समीकरण (1), (2) व (3) से,
∠i1 = ∠r2
समीकरण (1) व समीकरण (4) को जोड़ने पर,
∠(i1 + r1)= ∠(i2 + r2)
∠ABC = ∠BCD
परन्तु ये AB तथा CD को BC द्वारा प्रतिच्छेद करने से निर्मित समान एकान्तर कोण हैं।
अत: AB || CD
Proved.