R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति उस नगर में उस विशेष समय पर कार्यरत है। R सममित है, क्योंकि x , y एक ही स्थान पर एक समय पर कार्यरत हैं तो y, x भी उसी स्थान पर उस समय कार्यरत हैं। R संक्रामक है, क्योंकि x, y तथा y, z एक नगर में एक ही समय पर कार्यरत हैं तो उस नगर में उसी समय x, z भी कार्यरत हैं।
R स्वतुल्य है, क्योंकि उस स्थान का प्रत्येक व्यक्ति वहीं पर रहता है। R सममित है, क्योकि x और y एक स्थान पर रहते हैं तथा उसी स्थान पर y और x भी रहते हैं। R संक्रामक है, क्योंकि x , y तथा y, z एक स्थान पर रहते हैं तब x , z भी उसी स्थान पर रहते हैं।
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति अपने आप से 7 सेमी अधिक लम्बा नहीं हो सकता। R सममित नहीं है, क्योंकि y, x से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बा है तब x, y से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि x, y से तथा y, z से ठीक 7 सेमी लम्बे तो x, y से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बा नहीं हो सकता।
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि x स्वयं अपनी ही पत्नी नहीं हो सकती है। R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y, x की पत्नी नहीं हो सकती। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y किसी की भी पत्नी नहीं हो सकती।
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि x अपना ही पिता नहीं हो सकता। R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x, y का पिता है तो y, x का पिता नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि x, y का y, z का पिता है तो x, z का पिता नहीं हो सकता।
- R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि ,
, 
से कम नहीं है। - R सममित नहीं है, क्योंकि a ≤ b2 तो b, a2 से कम या बराबर नहीं है, जैसे -2 < 52 परन्तु 5, 22 से कम नहीं है।
- R संक्रामक नहीं है, माना a = 2, b = -2 और c = -1 तब 2 < (-2)2, -2 < (-1)2 परन्तु 2, (-1)2 से कम नहीं है।
अत:
1,2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
Question - 3 : - जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } में R = { (a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
Answer - 3 : -
दिया है, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}तथा R = { a, b ) : b = a + 1}
-
a. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि a, a + 1 के बराबर नहीं हो सकता।
माना 4 = 1, 1, (1 + 1) = 2 के बराबर नहीं हो सकता।
b. R सममित नहीं है, क्योंकि b = a + 1
तब a ≠ b + 1 यदि b = 1 + 1 = 2, 1 ≠ 2 +1
- R संक्रामक नहीं है, क्योंकि b = a + 1, c = b + 1
तो c ≠ a + 1 यदि b = 1 + 1 = 2 तथा c = 2 + 1 = 3 तो 3 ≠ 1 + 1
अत:
1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
Question - 4 : - सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
Answer - 4 : -
माना R कोई वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा R = { (a, b):a≤b}
1. R स्वतुल्य है, क्योंकि a ≤ a ⇒ a = a
2. R सममित नहीं है, क्योंकि a, b से कम है तब b, a से कम नहीं है।
यदि 1, 2 से कम है तब 2, 1 से कम नहीं हो सकती।
3. R संक्रामक है, क्योंकि a ≤ b और b ≤ c तब a ≤ b
अत:
1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।
Question - 5 : - वास्तविक संख्याओं के समुच्चय 5 में सम्बन्ध R, R = {(a, b):
Answer - 5 : - स्वतुल्यता :
Question - 6 : - सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1,2,3} में R = { (1,2), (2,1) } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
Answer - 6 : -
दिया है, A = {1, 2, 3} तथा R = { (1, 2), (2, 1) }
1. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∉ R
2. R सममित है, क्योंकि (1, 2) ∈ R और (2, 1) ∈ R
3. R संक्रामक नहीं है, क्योंकि R में केवल 2 ही अवयव हैं, जबकि संक्रामक होने के लिए तीन अवयव का होना आवश्यक हैं।
अत:
1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है परन्तु R सममित है। इति सिद्धम्
Question - 7 : - सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = { (x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध
Answer - 7 : -
दिया है, A किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों का समुच्चय है। तथा R = { (x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है }
1. R स्वतुल्य है, क्योंकि बराबर पृष्ठों वाली प्रत्येक पुस्तक में पृष्ठों की संख्या बराबर होगी।
2. R सममित है, क्योंकि x, y पुस्तकों में पृष्ठ बराबर है तो y, x पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होगे।
3. R संक्रामक है, क्योंकि x, y तथा y, z पुस्तकों में पृष्ठ बराबर हैं तो x, z पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे।
अत:
1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। इसलिए R तुल्यता सम्बन्ध है।
Question - 8 : - सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = { (a, b) :|a – b| सम है } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं परन्तु {1, 3 ,5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से सम्बन्धित नहीं है।
Answer - 8 : -
दिया है, A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = { (a, b) : |a – b| एक सम संख्या } = { (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5)}
(a) तुल्यता सम्बन्ध सिद्ध करने के लिए प्रश्नावली 1 (A) के प्रश्न 10 का हल देखें।
(b) समुच्चय {1, 3, 5} में |1 -3|,|1 -5|,|3 -5| सभी सम संख्याएँ हैं। सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। समुच्चय {2, 4} में |2 -4| एक सम संख्या है।
अतः
इसमें अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। परन्तु {1, 3, 5}, {2, 4} के अवयव आपस में सम्बन्धित नहीं हैं|1 -2|, |3 -4|,|3 -5|| सम संख्याएँ नहीं हैं। (इति सिद्धम्)
Question - 9 : - सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = { x ∈ z : 0 ≤ x ≤ 12 }, में दिए गए निम्नलिखित सम्बन्धों R में से प्रत्येक एक तुल्यता सम्बन्ध है :
(i) R = { (a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है},
(ii) R = { (a, b) : a = b}, प्रत्येक दशा में 1 से सम्बन्धित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
Answer - 9 : -
दिया है, A = {x ∈ z : 0≤ x ≤ 12} = {0, 1, 2, 3, 4, ….., 12}
(i)
R = { (a, b) :|a – b|, 4 का एक गुणज है } ,
= { (1, 5), (1, 9), (2, 6), (2, 10), (3, 7), 3, 11),(4, 8) (4, 12), (5, 9), (6,10), (7, 11), (8, 12),(0, 4), (0, 8), (0, 12), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3),…, (12, 12)}
- R स्वतुल्य है, यदि a – b= 4k ⇒ k = 0
- R सममित है, यदि | a – b| =| b – a| = 4k
- R संक्रामक है, यदि a – b, 4 का गुणज है तथा b – c, 4 का गुणज है। तो a – b + b – c = |a – c| भी 4 का एक गुणज होगा।
अत:
1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R, स्वतुल्य, सममित तथा स्वतुल्य है।
अत:
R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
1 से सम्बन्धित अवयव = {1, 5, 9}
(ii)
R = { (a, b) : a = b} ∴ R = { (0, 0), (1, 1),(2, 2), (3, 3),…. (12, 12) }
- 4 = 1 = (a, a) = R
∴R स्वतुल्य है। - R सममित है, यदि 4 = b = b = d
- R संक्रामक है, यदि 1 = b,
b = c ⇒ a = c अर्थात a, b, c तीनों बराबर हैं।
अत:
1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अंतः
R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
1 से सम्बन्धित अवयव = { 1 }
Question - 10 : - ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो
(i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किन्तु सममित न हो।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किन्तु स्वतुल्य न हो।
Answer - 10 : -
(i)
माना A एक समतल में सरल रेखाओं का समुच्चय है तथा R = { (a, b) : a, b पर लम्ब है }
- रेखा a, b पर लम्ब है तो b रेखा a पर लम्ब है।
∴ R सममित सम्बन्ध है। - R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि रेखा a अपने आप पर ही लम्ब नहीं हो सकती है।
- R संक्रामक नहीं है, यदि a रेखा b पर लम्ब है, b रेखा c पर लम्ब है तो a रेखा c पर लम्ब नहीं
(ii)
माना A एक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। तथा R = { (a, b) : a >b}
- R संक्रामक है, यदि a > b और b > c = a > c
- R स्वतुल्य नहीं है, a अपने आप से बड़ी संख्या नहीं है।
- R सममित नहीं है, यदि a > b तो b, a से बड़ा नहीं है।
(iii)
माना A = {1, 2, 3} तथा R = { (1, 1), (2, 2),(3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) }
समतुल्य व सममित है। परन्तु संक्रामक नहीं है क्योंकि (1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R, परन्तु (1, 3) ∉ R
(iv)
माना A = {1, 2, 3} तथा
R = { (a, b) : a ≤ b} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) }
- R स्वतुल्य है, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R
- R संक्रामक है, क्योंकि (1, 2), (2, 3) ∈ R = (1, 3) ∈ R
- R सममित नहीं है, यदि a < b परन्तु b, a से कम नहीं है।
(v)
माना A = {1, 2, 3} तब R = { (1, 1), (2, 2),(1, 2), (2, 1)} सममित व संक्रामक है, ।
परन्तु स्वतुल्य नहीं हैं क्योकि (3, 3) ∉R