Chapter 11 रचनाएँ (Constructions) Ex 11.2 Solutions
Question - 1 : - 6 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 सेमी. दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
Answer - 1 : -
रचना के पद
I. एक बिन्दु 0 अंकित करो।
II. केन्द्र O और त्रिज्या 6 सेमी से एक वृत्त खींचो।
III. केन्द्र से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P अंकित करो।
IV. O और P को मिलाओ।
V. OP को M पर समद्विभाजित करो।
VI. बिन्दु M को केन्द्र लेकर MO या MP के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो दिए गये वृत्त को A और B पर काटे।
VII. PA और PB को मिलाओ। इस प्रकार, PA और PB दो अभिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मापने पर, PA = PB = 9.6 सेमी.
सत्यापनः OA और OB को मिलाओ चूँकि OP एक व्यास है।
∠OAP = 90°; ∠OBP = 90° [अर्धवृत्त में बने कोण]
पुनः OA और OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
PA और PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ है।
Question - 2 : - 4 सेमी. त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी. त्रिज्या के एक सकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
Answer - 2 : -
रचना के पद
I. 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त एक ही केन्द्र O से खींचो।
II. बड़े वृत्त पर एक बिन्दु P अंकित करो।
III. O और P को मिलाओ।
IV. OP का लम्ब समद्विभाजक M ज्ञात करो।
V. Mको केन्द्र और OM या PM के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो छोटे वृत्त को A और B पर काटे।
VI. A और P को मिलाइए।
इस प्रकार PA अभीष्ठ स्पर्श रेखा है। मापने पर, PA = 4.5 सेमी
सत्यापनः O और A को मिलाओ।
∠PAO = 90° [अर्धवृत्त में बना कोण]
PA ⊥ OA
OA, छोटे वृत्त की त्रिज्या है।
छोटे वृत्त पर PA एक स्पर्श रेखा है।
Question - 3 : - 3 सेमी, त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी. की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
Answer - 3 : -
रचना के पद
I. केन्द्र O और त्रिज्या 3 सेमी का एक वृत्त खींचो।
II. उक्त वृत्त के व्यास को बढ़ाकर, इस पर दो बिन्दु P और 9 इस प्रकार अंकित कीजिए किः
OP = OQ = 7 सेमी
III. OP और OQ के मध्य बिन्दु क्रमश: M1 और M2 ज्ञात कीजिए।
IV. M1 को केन्द्र व M1P को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचो जो वृत्त को A और B पर काटे।
V. PA और PB को मिलाओ। PA और PB अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
VI. अब OQ के मध्य बिन्दु M2 और M2O के समान त्रिज्या लेकर वृत्त खींचो जो दिए गये वृत्त को C और D पर काटे।
VII. OC और OD को मिलाओ। इस प्रकार OQ और QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापनः OA को मिलाओ।
∠OAP = 90°
PA ⊥ OA
PA एक स्पर्श रेखा है।
इस प्रकार, PB ⊥OA
PB एक स्पर्श रेखा है।
अब, OC को मिलाने पर
∠OCQ = 90°
QC ⊥ OC
QC एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, QD ⊥ OC = QD एक स्पर्श रेखा है।
Question - 4 : - 5 सेमी, त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
Answer - 4 : -
रचना के पद
I. केन्द्र O और त्रिज्या = 5 सेमी से दिये गये वृत्त की रचना करो।
II. ∠AOB = 120° बनाओ।
III. बिन्दु A से OA पर एक लम्ब खींचो।
IV. B से एक लम्ब OB पर खींचो।
V. उक्त लम्बों को C पर मिलने दो।
इस प्रकार CA तथा CB वृत्त की अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ है, जो परस्पर 60° पर झुकी हुई हैं।
सत्यापनः चतुभुर्ज OACB में, कोण-योग-गुण से
120° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°
⇒ 300° + ∠ACB = 360°
⇒ ∠ACB = 360° – 300° = 60°
Question - 5 : - 8 सेमी. लम्बा एक रेखाखंड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी, त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Answer - 5 : -
रचना के पद
I. A और B को मिलाओ।
II. AB का लम्बसमद्विभाजक ज्ञात करो। माना AB का मध्य बिन्दु M है।
III. केन्द्र M और त्रिज्या = MA या MB लेकर एक वृत्त खींचो जो केन्द्र A वाले वृत्त को P और Q पर काटे, तथा केन्द्र B वाले वृत्त को R और S पर काटे।
IV. BP और BQ को मिलाओ। इस प्रकार, BP तथा BQ केन्द्र A वाले वृत्त पर B से अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ है।
V. अब, RA और SA को मिलाओ।
इस प्रकार, केन्द्र B वाले वृत्त पर A से स्पर्श रेखाएँ RA तथा SA हैं।
सत्यापनः A और P को मिलाने पर,
∠APB = 90°
BP ⊥ AP
परन्तु AP, केन्द्र A वाले वृत्त की त्रिज्या है।
केन्द्र A वाले वृत्त पर AP एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, BQ भी केन्द्र A वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है। केन्द्र B वाले वृत्त पर भी उक्त प्रकार से AR और AS स्पर्श रेखाएँ हैं।
Question - 6 : - माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 सेमी., BC = 8 सेमी. तथा ∠B = 90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Answer - 6 : -
रचना के पद
I. AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी तथा ∠B = 90° मापों से ΔABC की रचना करो।
II. BD ⊥ AC खींचो।
III. B, C और D से होकर एक वृत्त खींचो।
IV. AO को मिलाओ।
V. AO को M पर समद्विभाजित करो।
VI. केन्द्र M और त्रिज्या MA लेकर एक वृत्त खींचो जो दिये गये वृत्त को B और E पर काटता है।
VII. AB और AE को मिलाओ।
इस प्रकार बिन्दु A से दिए गये वृत्त पर AB और AE स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापनः OE को मिलाने पर,
∠AEO = 90° [अर्धवृत्त में बनी कोण]
AE ⊥ OE
परन्तु OE, दिए गये वृत्त की एक त्रिज्या है।
AE वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, AB भी दिए गये वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
Question - 7 : - किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Answer - 7 : -
रचना के पद
I. चूड़ी की सहायता से दिए गये वृत्त की रचना करो।
II. दिए गये वृत्त में दो असमान्तर जीवाएँ PQ और RS खींचो।
III. P और RS के लम्बसमद्विभाजक खींचो जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार बिन्दु O दिए गये वृत्त का केन्द्र है।
IV. दिए गये वृत्त के बाहर एक बिन्दु P लो।
V. OP को मिलाओ।
VI. OP का मध्य बिन्दु M अंकित करो।
VII. केन्द्र M और त्रिज्या-OM से एक वृत्त खींचो, जो दिए गये वृत्त को A और B पर काटे।।
VIII. PA और PB को मिलाओ।
इस प्रकार PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापनः OA और OB को मिलाने पर,
∠OAP = 90°, ∠OBP = 90° [अर्धवृत्त में बने कोण]
PA ⊥ OA तथा PB ⊥ OB
PA, दिए गये वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है तथा PB, दिए गये वृत्त पर दूसरी स्पर्श रेखा है।