Question -
Answer -
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके अभ्यन्तर में स्थित एक बिन्दु P है।
रेखाखण्ड PA, PB, PC और PD खींचे गए हैं।
जिससे चार त्रिभुज ∆APB, ∆PBC, ∆PCD और ∆APD प्राप्त होते हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ar (APB) + ar (PCD) = 
ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (∆APB) + ar (∆PCD)
रचना : P से AB पर लम्ब PQ तथा CD पर लम्ब PR खींचिए।
उपपत्ति :
(i) समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = भुजा x सम्मुख भुजा की लाम्बिक दूरी
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB x (PQ + PR) ……(1)
∆APB का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x AB x PA
∆PCD का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई = x DC x PR
जोड़ने पर,
∆APB का क्षेत्रफल + ∆PCD का क्षेत्रफल = (AB x PQ +DC x PR) का क्षेत्रफल
= (AB x PQ + AB x PR) (समान्तर चतुर्भुज ABCD में DC = AB)
= AB (PQ +PR)
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफले (समीकरण (1) से)
अत: ∆APB का क्षेत्रफल + ∆PCD का क्षेत्रफल = x समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)
Proved.
(ii) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)
2 [ar(APB) + ar (PCD)] = ar (ABCD)
2 ar (APB) + 2 ar (PCD) = ar (APB) + ar (PBC)+ ar (PCD) + ar (APD)
2ar (APB) + 2 ar (PCD) – ar (APB) – ar (PCD) = ar (PBC) + ar (APD)
ar (APB) + ar (PCD) = ar (APD) + ar (PBC)
अत: ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
Proved.