Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Solutions
Question - 1 : - दी गई आकृति में, ∆ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACE) है।
Answer - 1 : -
दिया है : ∆ABC में BC का मध्य-बिन्दु D है जिससे AD त्रिभुज की एक माध्यिका है। माध्यिका AD पर एक बिन्दु E है।
सिद्ध करना है : ∆ABE का क्षेत्रफल = ∆ACE का क्षेत्रफल
अथवा ar (ABE) = ar (ACE)
∆ABC में,
D, BC का मध्य-बिन्दु है अर्थात AD माध्यिका है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल के दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
∆ABD का क्षेत्रफल = ∆ACD का क्षेत्रफल …..(1)
पुनः ∆BEC की माध्यिका ED है।
∆BED का क्षेत्रफल = ∆CDE का क्षेत्रफल …(2)
समीकरण (1) से (2) को घटाने पर,
∆ABD का क्षेत्रफल – ∆BED का क्षेत्रफल = ∆ACD का क्षेत्रफल – ∆CDE का क्षेत्रफल
∆ABE का क्षेत्रफल = ∆ACE का क्षेत्रफल
ar (ABE) = ar (ACE)
Proved.
Question - 2 : - ∆ABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (BED) = 
ar (ABC) है।
Answer - 2 : -
दिया है : ∆ABC में AD त्रिभुज की माध्यिका है और AD का मध्य-बिन्दु E है।
∆ABD में, AD माध्यिका है।
∆ABD का क्षेत्रफल = ∆ACD का क्षेत्रफल
∆ABD का क्षेत्रफल + ∆ABD का क्षेत्रफल = ∆ABD का क्षेत्रफल + ∆ACD का क्षेत्रफल
2 ∆ABD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
∆ABD का क्षेत्रफल = 
x ∆ABC का क्षेत्रफल …(1)
पुनः ∆ABD में, E, AD का मध्य-बिन्दु है।
BE, ∆ABD की माध्यिका है।
∆BED का क्षेत्रफल = x
= x x ∆ABD का क्षेत्रफल [समीकरण (1) से]
= x ∆ABC का क्षेत्रफल
ar (BED) = ar (ABC)
Proved.
Question - 3 : - दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
Answer - 3 : -
दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु 0 पर काटते हैं।
सिद्ध करना है : ∆ADO का क्षेत्रफल = ∆ABO का क्षेत्रफल = ∆BCO का क्षेत्रफल = ∆CDO का क्षेत्रफल
रचना : शीर्ष A से BD पर लम्ब AN खींचा।
उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और इसके विकर्ण AC व BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
AB = CD तथा BC = AD
AO = CO तथा BO = DO
अब ∆BCO तथा ∆DAO में,
BC = DA (ऊपर सिद्ध किया है)
CO = AO (ऊपर सिद्ध किया है)
BO = DO (ऊपर सिद्ध किया है)
∆BCO = ∆ADO (S.S.S. से)
∆BCO का क्षेत्रफल = ∆ADO का क्षेत्रफल …(1)
इसी प्रकार, ∆ABO तथा ∆CDO भी सर्वांगसम होंगे।
∆ABO का क्षेत्रफल = ∆CDO का क्षेत्रफल …(2)
AN, BD पर लम्ब है।
∆ADO का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई
= x DO x AN= x BD) x AN
= x BD x AN
और ∆ABO का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई
= x BO x AN= x (BD) x AN [∴ BO = DO – BD]
= x BD x AN…(3)
∆ABO का क्षेत्रफल = ∆ADO का क्षेत्रफल
तब समीकरण (1), (2) व (3) से,
∆ABO का क्षेत्रफल = ∆BCO का क्षेत्रफल = ∆CDO का क्षेत्रफल = ∆ADO का क्षेत्रफल
अतः स्पष्ट है कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
Proved.
Question - 4 : - दी गई आकृति में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB से बिन्दु O पर समद्विभाजित होता है तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
Answer - 4 : -
दिया है। दो ∆ABC व ∆ABD एक ही आधार AB पर स्थित हैं।
AB रेखाखण्ड CD को O पर समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
अथवा
ar (ABC) = ar (ABD)
रचना : शीर्षों C तथा D से AB पर क्रमशः CE तथा DF लम्ब खींचे।
उपपत्ति : CE ⊥ AB और DF ⊥ AB (रचना से)
CE || DF; और CD एक तिर्यक रेखा है।
∠ECD = ∠FDC (एकान्तर कोण)
∠ECO = ∠FDO …(1)
अब ∆ECO और ∆FDO में,
∠ECO = ∠FDO [समीकरण (1) से]
CO = DO (O पर CD समद्विभाजित होता है)
∠COE = ∠DOF (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆ECO = ∆FDO (A.S.A. से)
CE = DF (C.P.C.T.) …(2)
तब, ∆ABC का क्षेत्रफल = x आधार x ऊँचाई
= x AB x CE
= x AB x DF[समीकरण (2) से]
= ∆ABD का क्षेत्रफल
अतः ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆ABD का क्षेत्रफल
या
ar (ABC) = ar (ABC)
Proved.
Question - 5 : - D, E और F क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = ar (ABC) (iii) ar (BDEF) = ar (ABC)
Answer - 5 : -
दिया है: ∆ABC में भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं।
सिद्ध करना है:
(i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = ar (ABC)
उपपत्ति :
(i) ∆ABC में E, AC का मध्य-बिन्दु है और F, AB का मध्य-बिन्दु है।
EF = BC और EF || BC (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
D, BC का मध्य-बिन्दु है।
BD = BC
EF = BD और EF || BD
अत: BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
Proved.
(ii) E और F क्रमश: AC और AB के मध्य-बिन्दु हैं।
EF = BC और EF || BC (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
परन्तु D, BC को मध्य-बिन्दु है।
CD = BC
EF = CD और EF || DC
DCEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
FD = CE और FD || EC या FD || AC या FD || AE
BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
DE = BF और DE || BF और DE || AB DE || AF
DE || AF और FD || AE
AEDF एक समान्तर चतुर्भुज है।
BDEF समान्तर चतुर्भुज है और FD उसका एक विकर्ण है।
∆DEF का क्षेत्रफल = ∆BDF का क्षेत्रफल ……(1)
DCEF समान्तर चतुर्भुज है और DE उसका एक विकर्ण है।
∆DEF का क्षेत्रफल = ∆DCE का क्षेत्रफल ……(2)
AEDF समान्तर चतुर्भुज है और EF उसका एक विकर्ण है।
∆DEF का क्षेत्रफल = ∆AEF का क्षेत्रफल ………(3)
समीकरण (1), (2) व (3) को जोड़ने पर,
3 ∆DEF’ का क्षेत्रफल = ∆BDF का क्षेत्रफल + ∆DCE का क्षेत्रफल + ∆AEF का क्षेत्रफल दोनों पक्षों में ∆DEF जोड़ने पर,
4 ∆DEF का क्षेत्रफल = (∆BDF + ∆DEC + ∆AEF +∆DEF) का क्षेत्रफल
4 ∆DEF का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
अतः ∆DEF का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
अथवा ar (DEF) = ar (ABC)
Proved.
(iii) चतुर्भुज BDEF का क्षेत्रफल = ∆BDF का क्षेत्रफल + ∆DEF का क्षेत्रफल = ∆DEF का क्षेत्रफल + ∆DEF का क्षेत्रफल [समीकरण (1) से
= 2 ∆DEF का क्षेत्रफल = 2 x ∆ABC का क्षेत्रफल
= x ∆ABC का क्षेत्रफल
अत: चतुर्भुज BDEF’ का क्षेत्रफल = x ∆ABC का क्षेत्रफल
अथवा
ar (BDEF) = ar (ABC)
Proved.
Question - 6 : - दी गई आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है तो दर्शाइए कि
(i) ar(DOC) = ar (AOB)
(ii) ar(DCB) = ar(ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
Answer - 6 : -
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC, दूसरे विकर्ण BD को बिन्दु O पर इस प्रकार काटता है कि OB = OD भुजा AB, भुजा CD के बराबर है। सिद्ध करना है :
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
रचना : शीर्ष B से AC पर लम्ब BF तथा शीर्ष D से AC पर लम्ब DG खींचे।
उपपत्ति:
(i) BF ⊥ AC और DG ⊥ AC
∠DGF = ∠BFG = 90° ये एकान्तर कोण हैं।
BF || DG
BF || DG और BD तिर्यक रेखा है।
∠BDG = ∠DBF (एकान्तर कोण)
∠ODG = ∠OBF
अब ∆DOG और ∆BOF’ में,
∠ODG = ∠OBF (ऊपर सिद्ध किया है)
OD = OB (दिया है)
∠DOG = ∠ BOF (शीर्षाभिमुख कोण युग्म)
∆DOG = ∆BOF (A.S.A. से)
ar (DOG) = ar (BOF) …(1)
∆CDG और ∆ABF में,
∠G = ∠F (DG ⊥ AC, BF ⊥ AC)
CD = AB (दिया है)
DG = BF (∆DOG = ∆BOF)
∆CDG = ∆ABF (R.H.S. से)
ar (CDG) = ar (ABF) …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (DOG) + ar (CDG) = ar (BOF) + ar (ABF)
अतः ar (DOC) = ar (AOB)
Proved.
(ii) ar (DOC) = ar (AOB) दोनों ओर ar (BOC) जोड़ने पर,
ar (DOC) + ar (BOC) = ar (AOB) + ar (BOC)
अतः ar (DCB) = ar (ACB)
Proved.
(iii) ∆DCB और ∆ACB के क्षेत्रफल समान हैं जैसा कि अभी सिद्ध किया है और दोनों त्रिभुज उभयनिष्ठ आधार BC पर स्थित हैं।
दोनों त्रिभुज एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
तब, DA || CB
समीकरण (2) से,
∆CDG = ∆ABF
CG = AF …(3)
और समीकरण (1) से,
∆DOG = ∆BOF
GO = OF ……(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर,
CG + GO = OF + AF
OC = OA
O, विकर्ण CA का भी मध्य-बिन्दु है अर्थात विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
Proved.
Question - 7 : - बिन्दु D और E क्रमशः AABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar (DBC) = ar (EBC) है। दर्शाइए कि DE || BC है।
Answer - 7 : -
दिया है: ∆ABC की दो भुजाओं AB तथा AC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार हैं। कि
∆DBC का क्षेत्रफल = ∆EBC का क्षेत्रफल।
सिद्ध करना है।
DE || BC
उपपत्ति :
ar (DBC) = ar (EBC)
∆DBC का क्षेत्रफल = ∆EBC का क्षेत्रफल
और दोनों उभयनिष्ठ आधार BC पर एक ही ओर स्थित हैं।
दोनों त्रिभुजों के शीर्ष BC के समान्तर एक ही रेखा पर स्थित होंगे।
अतः DE || BC
Proved.
Question - 8 : - XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समान्तर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमशः E और F पर मिलती हैं तो दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACF)
Answer - 8 : -
दिया है: ∆ABC की भुजा BC के समान्तर एक रेखा XY खींची गई है। बिन्दु B से AC के समान्तर रेखा BE खींची गई है जो XY से E पर मिलती है और इसी प्रकार बिन्दु C से AB के समान्तर एक रेखा CF खींची गई है जो XY से बिन्दु F पर मिलती है।
सिद्ध करना है : ar (ABE) = ar (ACF)
उपपत्ति : XY || BC और BE || AC
यहाँ समान्तर रेखा युग्म (XY, BC)को अन्य समान्तर रेखा युग्म (EB, AC) द्वारा काटने पर समान्तर चतुर्भुज AEBC प्राप्त होता है।
AB, समान्तर चतुर्भुज AEBC का विकर्ण है।
∆ABE का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल …(1)
XY || BC और CF || AB
अर्थात एक समान्तर रेखा युग्म (XY, BC) को दूसरे समान्तर रेखा युग्म (CF, AB) द्वारा काटने पर समान्तर चतुर्भुज ABCF प्राप्त होता है।
AC, समान्तर चतुर्भुज ABCF’ का विकर्ण है।
∆ABC का क्षेत्रफल = ∆ACF का क्षेत्रफल …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∆ABE का क्षेत्रफल = ∆ACF का क्षेत्रफल
या ar (ABE) = ar (ACF)
Proved.
Question - 9 : - समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Qपर मिलती है और फिर समान्तर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है। दर्शाइए कि ar (ABCD) = ar (PBQR) है।
Answer - 9 : -
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB को किसी बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। बिन्दु A से CP के समान्तर रेखा AQ है जो बढ़ी हुई CB से Q पर मिलती है। समान्तर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है।
सिद्ध करना है :
क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR)
ar (ABCD) = ar (PBQR)
रचना : चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC तथा चतुर्भुज PBQR का विकर्ण PR खींचिए।
उपपत्ति : AQ || CP और ∆ACQ तथा ∆APQ का आधार AQ है और ये इन्हीं समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
क्षेत्रफल (∆ACQ) = क्षेत्रफल (∆APQ)
क्षेत्रफल (∆ACB) + क्षेत्रफल (∆ABQ) = क्षेत्रफल (∆ABQ) + क्षेत्रफल (∆BPQ)
क्षेत्रफल (∆ACB) = क्षेत्रफल(∆BPQ) …(1)
∆ACB की भुजा AC, समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण है और ∆BPQ की भुजा PQ, समान्तर चतुर्भुज PBQR का विकर्ण है।
क्षेत्रफल (∆ACB) = क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD) ….(2)
क्षेत्रफल (∆BPQ) = क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR) …(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज PBQR)
क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = क्षेत्रफल ( समान्तर चतुर्भुज PBQR)
अथवा ar (ABCD) = ar (PBQR)
Proved.
Question - 10 : - एक समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।
Answer - 10 : -
दिया है : ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है और समलम्ब के विकर्ण : AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : ∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल
ar (∆AOD) = ar (A BOC)
उपपत्ति : समलम्ब ABCD में AB || DC है और ∆ADC तथा ∆BDC दोनों का उभयनिष्ठ आधार DC है।
और दोनों के शीर्ष A तथा B, DC के समान्तर भुजा AB पर स्थित हैं।
∆ADC और ∆BDC एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
∆ADC का क्षेत्रफल = ∆BDC को क्षेत्रफल
दोनों पक्षों से ∆DOC का क्षेत्रफल घटाने पर,
∆ADC का क्षेत्रफल – ∆DOC का क्षेत्रफल = ∆BDC का क्षेत्रफल – ∆DOC का क्षेत्रफल
∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल
अथवा ar (AOD) = ar (BOC)
Proved.