Question - 1 : -
निम्नलिखित मिश्र कथनों में पहले संयोजक शब्दों को पहचानिए और फिर उनको घटक कथनों में विघटित कीजिए:
(i) सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं और सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ नहीं होती हैं।
(ii) किसी पूर्णांक का वर्ग धन या ऋण होता है।
(iii) रेत (बालू घूप में शीघ्र गर्म हो जाती है और रात्रि में शीघ्र ठंडी नहीं होती है।
(iv) x = 2 और x = 3, समीकरण 3x² – x – 10 = 0 के मूल हैं।

Answer - 1 : -

(i) सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं और सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ नहीं होती हैं।

हल:

संयोजक शब्द ‘और’

घटक p : सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

q : सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ नहीं होती हैं।

(ii) किसी पूर्णांक का वर्ग धन या ऋण होता है।

हल:

संयोजक शब्द ‘या’

घटक p : किसी पूर्णांक का वर्ग धन होता है।

q : किसी पूर्णा का वर्ग ऋण होता है।

(iii) रेत (बालू घूप में शीघ्र गर्म हो जाती है और रात्रि में शीघ्र ठंडी नहीं होती है।

हल:

संयोजक शब्द ‘और’

घटक p : रेत (बालू) धूप में शीघ्र गर्म हो जाती है।

q : रेत (बालू) रात्रि में शीघ्र ठंडी नहीं होती।

(iv) x = 2 और x = 3, समीकरण 3x² – x – 10 = 0 के मूल हैं।

हल:

संयोजक शब्द ‘और’

घटक p : x = 2, समीकरण 3x² – x – 10 = 0 का मूल है।

q : x = 3 समीकरण 3x² – x – 10 = 0 को मूल है।

Question - 2 : -
निम्नलिखित कथनों में परिमाण वाचक वाक्यांश पहचानिए और कथनों के निषेधन लिखिए:
(i) एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है, जो अपने वर्ग के बराबर है।
(ii) प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए x, (x + 1) से कम होता है।
(iii) भारत के हर एक राज्य/प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व है।

Answer - 2 : -

(i) एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है, जो अपने वर्ग के बराबर है।

हल:

परिमाणवाचक वाक्यांश : एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है।

कथन का निषेधन : ऐसी संख्या का अस्तित्व नहीं है जो अपने वर्ग के बराबर हो।

(ii) प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए x, (x + 1) से कम होता है।

हल:

परिमाणवाचक वाक्यांश : ” प्रत्येक के लिए ”

p : प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए x, x + 1 से कम होता है।

p का निषेधन = ~p = कम से कम एक वास्तविक संख्या 7 ऐसी है जो x + 1 से कम नहीं है।

(iii) भारत के हर एक राज्य/प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व है।

हल:

परिमाणवाचक वाक्यांश : एक ऐसे का अस्तित्व है।

कथन p : भारत के हर एक राज्य/प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व है।

p का निषेधन : ~p = भारत के हर एक राज्य/ प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व नहीं है।

Question - 3 : -
जाँचिए कि क्या नीचे लिखे कथनों के जोड़े (युग्म) एक दूसरे के निषेधन हैं। अपने उत्तर के लिए कारण भी बतलाइए।
(i) प्रत्येक वास्तविक संख्याओं x और y के लिए x + y = y + x सत्य है।
(ii) ऐसी वास्तविक संख्याओं x और y का अस्तित्व है जिनके लिए x + y = y + x सत्य है।

Answer - 3 : -

कथन (i) और (ii) एक दूसरे के निषेधन नहीं है।

Question - 4 : - बतलाइए कि निम्नलिखित कथनों में प्रयुक्त ‘या’ ‘अपवर्जित है’ अथवा ‘अंतर्विष्ट’ है। अपने उत्तर के लिए कारण भी बतलाइए।
(i) सूर्य उदय होता है या चन्द्रमा अस्त होता है।
(ii) ड्राइविंग लाइसेंस के आवेदन हेतु आपके पास राशन कार्ड या पासपोर्ट होना चाहिए।
(iii) सभी पूर्णांक धन या ऋण होते है।

Answer - 4 : -

(i) सूर्य उदय होता है या चन्द्रमा अस्त होता है।

हल:

अपवर्जित : सूर्य उदय होता है और चन्द्रमा अस्त होता है। एक समय पर सूर्य उदय होगा या चन्द्रमा

(ii) ड्राइविंग लाइसेंस के आवेदन हेतु आपके पास राशन कार्ड या पासपोर्ट होना चाहिए।

हल:

अंतर्विष्ट : ड्राइविंग लाइसेंस के आवेदन हेतु राशन कार्ड या पास पोर्ट या दोनों मान्य है।

(iii) सभी पूर्णांक धन या ऋण होते है।

हल:

अपवर्जित : सभी पूर्णांक धन या ऋण होते हैं। परन्तु धन या ऋण दोनों नहीं हो सकते।

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Chapter 14 गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) Ex 14.3 Solutions

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