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Chapter 1 सम्बन्ध एवं फलन (Relations and Functions) Ex 1.3 Solutions

Question - 1 : - मान लीजिए कि f : {1, 3, 4} {1,2, 5} तथा f : {1,2, 5} {1, 3}, f = { (1, 2), (3, 5), (4, 10} तथा g = { (1, 3), (2, 3), (5, 10} द्वारा प्रदत्त हैं। gof ज्ञात कीजिए।

Answer - 1 : - दिया है, f : { 1, 3, 4 } → { 1, 2, 5 } तथा g : { 1, 2, 5 } → { 1 , 3 } .

Question - 2 : -
मान लीजिए कि f, g तथा h, R से R तक दिए फलन हैं। सिद्ध कीजिए कि
(f + g) oh = foh + goh
(f.g) oh = (foh). (goh)

Answer - 2 : -


Question - 3 : - gof तथा fog ज्ञात कीजिए, यदि
(i) f (x) = | x | तथा g (x) =| 5 x – 2|
(ii) f (x) = g x3 तथा g (x) = x1/3

Answer - 3 : -


Question - 4 : - यदि y(x) =   तो सिद्ध कीजिए कि सभी  के लिए fof (x) = x है। f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।

Answer - 4 : -


f का प्रतिलोम तभी ज्ञात किया जा सकता है जब f एकैकी आच्छादक हो। f एकैकी है माना कि x1 x2 ∈ प्रान्त तब f (x1) = f(x2)

Question - 5 : - कारण सहित बताइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम हैं ?
(i) f : {1, 2, 3, 4} → {10} जहाँ f= {(1, 10), (2, 10), (3, 10), 4, 10)}
(ii) g: {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4} जहाँ g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
(iii) h : {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} जहाँ h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}

Answer - 5 : -

(i) नहीं, क्योंकि एक बहुएक फलन है।
(ii) नहीं, इयोंकि g एक बहुएक फलन है।
(iii) हाँ, क्योंकि h एक एकैकी आच्छादक फलन है।

Question - 6 : - यदि f :[-1, 1] → Y: f(x) =  तथा Y = परिसर (f) तो दिखाइए कि f-1 व्युत्क्रमणीय है तथा ज्ञात कीजिए।

Answer - 6 : -


Question - 7 : - f (x) = 4 x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

Answer - 7 : -


Question - 8 : - f(x) = x + 4 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → [4,∞) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए किf व्युत्क्रमणीय है तथा का प्रतिलोम -1,f (y) =  द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ R सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

Answer - 8 : -


Question - 9 : - यदि f: R+ → [-5, ∞]: f (3) = 9x2 + 6x – 5 तो सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f-1(y) = 

Answer - 9 : - उपरोक्त प्रश्न की भाँति स्वयं हल करें।

Question - 10 : - मान लीजिए कि f : X→ Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f  को प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।

Answer - 10 : -


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