Chapter 11 रचनाएँ (Constructions ) Ex 11.1 Solutions
Question - 1 : - एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
Answer - 1 : -
दिया है : AB एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु A है।
रचना करनी है: किरण AB के बिन्दु A पर 90° के कोण की।
विश्लेषण : हम 60° का कोण बना सकते हैं।
इस कोण के साथ 60° का एक संलग्न कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करें और इसमें जोड़ दें तो 90° का कोण प्राप्त होगा।
अर्थात 90° = 30° + 60°
रचना :
1. किरण AB खींची।
2. A को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का चाप खींचा जो किरण AB को बिन्दु P पर काटता है।
3. अब P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु Q पर काटता है। ∠PAQ = 60° है।
4. पुनः Q को केन्द्र मानकर उसी (AP) त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु R पर काटे। ∠QAR = 60° है।
5. बिन्दु Q तथा R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु C पर काटते हैं। रेखाखण्ड CA खींचा। ∠CAQ = 30° है।
प्रकार ∠CAB = ∠BAQ + ∠QAC = 60° + 30° = 90° हुआ।
अत: ∠CAB अभीष्ट कोण है।
Question - 2 : - एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारणसहित रचना की पुष्टि कीजिए।
Answer - 2 : -
दिया है : OP एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दू 0 है।
रचना करनी है : किरण OP के बिन्दु 0 पर 45° के कोण की।
विश्लेषण : 45° = 
x 90° अत: 90° का कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करके 45° का कोण प्राप्त होगा।
रचना :
1. किरण OP खींची।
2. O को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या OA का एक चाप लगाया जो किरण OP को A पर काटता है।
3. A को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को B पर काटता है।
4. B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक अन्य चाप खींचा जो केन्द्र O वाले चाप को C पर काटता है।
5. B तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु R पर काटते हैं। रेखाखण्ड OR खींचा जो चाप BC को D पर काटता है। ∠POR = 90° है।
6. बिन्दुओं A तथा D को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो। चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु Q पर काटते हैं। रेखाखण्ड OQ खींचा। ∠POQ = 45° क्योंकि OQ, ∠POR = 90° का समद्विभाजक है।
अतः ∠POQअभीष्ट कोण है।
Question - 3 : - निम्नलिखित मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) 22 ° (iii) 15°
Answer - 3 : -
(i) रचना करनी है : 30° के कोण की। विश्लेषण : 30° = x 60° रचना :
1. एक किरण OA खींची।
2. किरण OA के अन्त्य बिन्दु O को केन्द्र मानकर कोई त्रिज्या OB लेकर एक चाप लगाया जो GA को B पर काटता है।
3. अब B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु,C पर काटता है। ∠AOC = 60° है।
4. बिन्दुओं B तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु D पर काटते हैं।
5. ∠AOC का अर्धक (समद्विभाजक) OD खींचा। तब ∠AOD= 30° जो कि अभीष्ट कोण है।
(iii) रचना करनी है : 15° के कोण की।
विश्लेषण : 60° के कोण का समद्विभाजक 30° का कोण बनाया। अब 30°C के कोण का समद्विभाजक 15° का कोण बनाया।
अर्थात 15° = (
) = 
रचना :
- किरण OA के अन्त्य बिन्दु 0 से किरण OA पर ∠AOC = 60° इस अध्याय की रचना-3 में वर्णित विधि से बनाया।
- ∠AOC का समद्विभाजक OD खींचा। ∠AOD = 30° है जिसे इस प्रश्न के भाग (i) में वर्णित विधि से बनाया।
- बिन्दुओं B तथा P को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु E पर काटते हैं।
अब ∠AOD का समद्विभाजक OE खींचा। तब ∠AOE = 15° जो कि अभीष्ट कोण है।निम्नलिखित कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°
Answer - 4 : -
(i) रचना करनी है : 75° के कोण की।
विश्लेषण : 75° = 90° – 15° = 90° – (30° के कोण ) रचना :
1. प्रश्न-1 की भाँति वर्णित विधि से ∠POQ= 90° बनाया और किरण OB खींची।
2. बिन्दुओं B तथा T को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु S पर काटते हैं।
3. ∠BOQ = ∠POQ – ∠POB = 90° – 60° = 30° का। समद्विभाजक OS खींचा। जिससे ∠QOS = 15°
4. स्पष्ट है कि ∠POS = ∠POQ – ∠QOS = 90° – 15° = 75°
अतः ∠POS अभीष्ट कोण है।
(ii) रचना करनी है : 105° के कोण की।
विश्लेषण : 60° + 30° + (30° x ) = 105°
अथवा 90 अथवा 90° + (30° x ) = 105°
रचना :
- प्रश्न-1 की भाँति वर्णित विधि से सर्वप्रथम ∠POQ = 90° बनाया।
- किरण OC खींची। (स्पष्ट है कि ∠QOC = 30°)
- बिन्दुओं T तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु S पर काटते हैं।
∠QOC का समद्विभाजक OS खींचा जिससे ∠QOS = 15°।
स्पष्ट है कि ∠POS = ∠POQ + ∠QOS = 90° + 15° = 105°
इस प्रकार, ∠POS = 105° का अभीष्ट कोण है।
(iii) रचना करनी है : 135° के कोण की।
विश्लेषण : 135° = 90° + 45°
रचना :
- रेखा QP खींची और इस पर एक बिन्दु 0 लिया।
- प्रश्न-1 की भाँति वर्णित विधि से O से OR ⊥ QP खींची जिससे ∠POR = 90°
प्रश्न-2 की भाँति वर्णित विधि से ∠QOR का समद्विभाजक OS खींचा।
∠ROS = x ∠QOR = x 90° =45° (∠POR = ∠QOR = 90°]तथा ∠POS = ∠POR + ∠ROS = 90° + 45° = 135°
तब ∠POS अभीष्ट 135° का कोण है।
Question - 5 : - एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।
Answer - 5 : -
दिया है : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC
रचना करनी है : समबाहु त्रिभुज ABC की।
रचना :
1. रेखाखण्ड BC दी गई माप का खींचा।
2. B तथा Cको केन्द्र मानकर BC त्रिज्या के दो चाप लगाए जो परस्पर A पर काटते हैं।
3. रेखाखण्ड AB तथा AC खींचे।
त्रिभुज ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति : AB = BC और AC = BC (रचना से)
⇒ AB = BC = AC
त्रिभुज ABC समबाहु ही है।