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Question -

सिद्ध कीजिए कि f(x) =   द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ  R* सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रान्त R* को N से बदल दिया जाए, जबकि सहप्रांत पूर्ववत  R* ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?



Answer -

(i) दिया है, f (x) = यदि f (x1) = f (x2)  ⇒ =  

x1 = x2
अत:
प्रान्त के प्रत्येक अवयव का एक ही प्रतिबिम्ब है।
अतः
f एकैकी फलन है।

(ii)
दिया है, 

y = 
x = 
y ≠ 0
सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त में क्रमश: एक ही अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक फलन है।
∴ f एकैकी व आच्छादक फलन है।

(b)
यदि प्रान्त R को N से बदल दिया जाता है तब सहप्रान्त R वही रहे तो f : N → R
जब f (x1) = f(x2)
⇒  = 
x1 = x2 ∈ N
 ⇒  f एकैकी है।
परन्तु सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के अवयव का प्रतिबिम्ब न हो।

इस प्रकार f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है। (इति सिद्धम्)

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