Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Solutions
Question - 11 : - दी गई आकृति में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के A समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar (ABCDE)
Answer - 11 : -
दिया है : दी गई आकृति में ABCDE एक पंचभुज है। रेखाखण्ड AC खींचा गया है और बिन्दु B से इसके समान्तर एक रेखा खींची गई है जो DC को बढ़ाने पर उससे बिन्दु F पर मिलती है।
सिद्ध करना है :
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
उपपत्ति :
(i) दिया है BF || AC
∆ACB और ∆ACF समान्तर रेखाओं BF और AC के बीच स्थित हैं और दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ आधार AC है।
त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल = त्रिभुज ACF का क्षेत्रफल
ar (ACB) = ar (ACF)
Proved.
(ii) ar (ACB) = ar (ACF)
दोनों पक्षों में ar (ACDE) जोड़ने पर,
ar (ACDE) + ar (ACB) = ar (ACDE) + ar (ACF)
ar (ABCDE) = ar (AEDF)
अतः ar (ABCDE) = ar (AEDF)
Proved.
Question - 12 : - गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखण्ड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखण्ड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखण्ड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
Answer - 12 : -
माना ABCD एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड है जिसके एक कोने से कुछ भाग लेकर समान क्षेत्रफल का दूसरा भाग देना है जो खेत से संलग्न भी हो और बचे खेत के साथ मिलकर पूर्ण भूखण्ड का अधिगृहीत भूखण्ड त्रिभुजाकार बना सके।
चतुर्भुजाकार खेत का विकर्ण AC खींचिए।
बिन्दु D से DE || AC खींचिए जो बढ़ी हुई BC को E पर काटे। रेखाखण्ड AE खींचिए जो CD रेखा O पर काटे।
देखिए ∆ACD और ∆ACE एक ही आधार AC पर एक ही समान्तर रेखाओं AC व DE के बीच स्थित हैं।
ar (ACD) = ar (ACE)
ar (∆AOD) + ar (∆AOC) = ar (∆AOC) + ar (∆COE)
ar (AOD) = ar (COE)
अत: ∆AOD क्षेत्र लेकर उसके बचे भूखण्ड के क्षेत्र में क्षेत्र (∆COE) जोड़कर दे देना चाहिए।
Question - 13 : - ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC है। AC के समान्तर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
Answer - 13 : -
दिया है : ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है। विकर्ण AC खींचा गया है। AC के समान्तर एक रेखा खींची गई जो AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। रेखाखण्ड DX और AY खींचे गए हैं जिनसे ∆ADX और ∆ACY बने हैं।
सिद्ध करना है : ar (ADX) = ar (ACY)
रचना : रेखाखण्ड CX खींचा।
उपपत्ति : AB पर एक बिन्दु X है और AB || DC है।
AX || DC तब ∆ADX और ∆ACX एक ही आधार AX पर एक ही समान्तर रेखाओं AX व DC के मध्य स्थित हैं।
ar (ADX) = ar (ACX) …(1)
पुनः XY || AC
तब ∆ACX और ∆ACY समान (उभयनिष्ठ) आधार AC पर समान्तर रेखाओं XY और AC के बीच स्थित है।
ar (ACX) = ar (ACY) …(2)
तब, समीकरण (1) व (2) से,
ar (ADX) = ar (ACY)
Proved.
Question - 14 : - दी गई आकृति में AP || BQ || CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
Answer - 14 : -
दिया है : दी गई आकृति में AP || BQ है और BQ || CR है। रेखाखण्ड AQ, CQ, BP और BR खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है : ar (AQC) = ar (PBR)
उपपत्ति : AP || BQ;
∆ABQ और ∆PBQ का आधार BQ उभयनिष्ठ है और ये दोनों समान्तर रेखाओं AP व B के बीच स्थित हैं।
ar (ABQ) = ar (PBQ) …(1)
इसी प्रकार,
∆BCQ और ∆BQR का उभयनिष्ठ आधार BQ है तथा ये दोनों समान्तर रेखाओं BQ व CR के बीच स्थित हैं।
ar (BCQ) = ar (BQR) …..(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (ABQ) + ar (BCQ) = ar (PBQ) + ar (BQR)
या ar (AQC)= ar (PBR)
Proved.
Question - 15 : - चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब है।
Answer - 15 : -
दिया है : ABCD में विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु 0 पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं और ∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल।
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
उत्पत्ति: ∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल (दिया है)
दोनों ओर समान क्षेत्रफल ∆DOC जोड़ने पर,
∆AOD का क्षेत्रफल + ∆DOC को क्षेत्रफल = ∆DOC का क्षेत्रफल + ∆BOC का क्षेत्रफल
(∆AOD + ∆DOC) का क्षेत्रफल = (∆DOC + ∆BOC) का क्षेत्रफल
∆ADC का क्षेत्रफल = ∆BDC का क्षेत्रफल
उक्त दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ आधार DC है और दोनों का क्षेत्रफल समान है।
तबे, दोनों एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होंगे।
AB || DC
अतः ABCD एक समलम्ब है।
Proved.
Question - 16 : - दी गई आकृति में, ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलम्ब हैं।
Answer - 16 : -
दिया है : दी गई आकृति में ∆DRC, ∆DPC, ∆BPD और ∆ARC इस प्रकार हैं कि
ar (DRC) = ar (DPC) और ar (BDP) = ar (ARC)
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD और चतुर्भुज DCPR समलम्ब हैं।
उपपत्ति : ∆DRC और ∆DPC में ज्ञात है कि ar (DRC) = ar (DPC) और दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ आधार DC है।
∆DRC और ∆DPC एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
DC || RP …(1)
अतः चतुर्भुज DCPR एक समलम्ब है।
ar (BDP) = ar (ARC)
ar (BDC) + ar (DPC) = ar (DRC) + ar (ADC)
परन्तु ar (DPC) = ar (DRC) (दिया है)
घटाने पर, ar (BDC) = ar (ADC)
∆BDC और ∆ADC के क्षेत्रफल बराबर हैं और उनका उभयनिष्ठ आधार DC है।
तब ∆BDC और ∆ADC एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
AB || DC …(2)
अतः चतुर्भुज ABCD का एक समलम्ब है। तब चतुर्भुज ABCD और चतुर्भुज DCPR दोनों ही समलम्ब हैं।
Proved.