Chapter 11 शंकु परिच्छेद (Conic Sections) Ex 11.1 Solutions
Question - 11 : - बिन्दुओं (2, 3) और (-1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।
Answer - 11 : -
मान लीजिए वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 …..(1)
इस पर बिन्दु (2, 3) स्थित है।
4 + 9 + 4g + 6f + c = 0
4g + 6f + c = -13 …..(2)
इसी प्रकार (-1, 1) भी वृत्त (1) पर स्थित है।
1 + 1 – 2g + 2 + c = 0
-2g + 2f + c = -2 …….(3)
केंद्र (-g, -f) रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।
-g + 3f – 11 = 0
या -g + 3f = 11 ……(4)
समीकरण (2) में से (3) को घटाने पर
6g + 4f = -11 ……..(5)
समी. (4) को 6 से गुणा करने पर,
– 6g + 18f = 66 ……(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
22f = 55
⇒ f = 5 / 2
f का मान समी (5) में रखने पर,
6g + 10 = -11
6g = -21
g = -7 / 2
g और f का मान समी (3) में रखने पर,
7 + 5 + c = -2 या c = – 14
g, और c के मान समीकरण (1) में रखने पर,
x² + y² – 7x + 5y – 14 = 0
यह वृत्त का वांछित समीकरण है।
Question - 12 : - त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद x-अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2, 3) से जाता है।
Answer - 12 : -
केंद्र x-अक्ष पर है। मान लीजिए ऐसा बिन्दु (p, 0) है। त्रिज्या 5 वाले वृत्त का समीकरण
(x – p)² + (y – 0)² = 25
बिन्दु (2, 3) इस वृत्त से होकर जाता है।
(2 – p)² + 9 = 25
(2 – p)² = 25 – 9 = 16
2 – p = ±4
+ve चिन्ह लेने पर, 2 – p = 4 या p = 2 – 4 = -2
-ve चिन्ह लेने पर, 2 – p = -4 या 2 = 4 + 2 = 6
जब p = -2, वृत्त का समीकरण
(x + 2)² + y = 25
x² + y² + 4x – 21 = 0
जब p = 6, वृत्त का समीकरण
(x – 6)² + y² = 25
x² + y² – 12x + 36 – 25 = 0
x² + y² – 12x + 11 = 0
वृत्त के अभीष्ट समीकरण
x² + y² + 4x – 21 = 0 और x² + y² – 12x + 11 = 0
Question - 13 : - (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों पर a और B अंतः खण्ड बनाता है।
Answer - 13 : -
वृत्त मूल बिन्दु से होकर जाता है और अक्षों पर अंत:खण्ड a, b बनाता है।
OA = a, A के निर्देशांक (a, 0)
OB = b, B के निर्देशांक (0, b)
Question - 14 : - उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, 2) हो तथा (4, 5) से जाता है।
Answer - 14 : -
Question - 15 : - क्या बिन्दु (-2.5, 3.5) वृत्त x² + y² = 25 के अंदर, बाहर या वृत्त पर स्थित है।
Answer - 15 : -