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Question -

सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।



Answer -


माना PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो कि वृत्त पर बाह्य बिन्दु P पर खींची गई है। वृत्त का केन्द्र O बिन्दु पर है।
अब, समकोण ΔOAP और A OBP में, हमें प्राप्त है कि:
PA = PB [बाह्य बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श-रेखाएँ]
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
OP = OP [उभयनिष्ठ]
SSS सर्वांगसमता से,
ΔΟΑΡ = ΔOPB इनके संगत भाग भी समान होंगे।
⇒ ∠OAA = ∠OPB
और ∠AOP = ∠BOP
∠APB = 2 ∠OPA
और ∠AOB = 2∠AOP
परन्तु ∠AOP = 90° – ∠OPA
2∠AOP = 180° – 2∠OPA
⇒ ∠AOB = 180° – ∠APB
⇒ ∠AOB + ∠APB = 180°

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