Question -
Answer -
(i) (A тИк B) тАУ B = A тАУ B
Let us consider LHS (A тИк B) тАУ B
= (AтАУB) тИк (BтАУB)
= (AтАУB) тИк ╧Х (since, BтАУB = ╧Х)
= AтАУB (since, x тИк ╧Х = x for any set)
= RHS
Hence proved.
(ii) A тАУ (A тИй B) = A тАУ B
Let us consider LHS A тАУ (A тИй B)
= (AтАУA) тИй (AтАУB)
= ╧Х тИй (A тАУ B) (since, A-A = ╧Х)
= A тАУ B
= RHS
Hence proved.
(iii) A тАУ (A тАУ B) = A тИй B
Let us consider LHS A тАУ (A тАУ B)
Let, x тИИ A тАУ (AтАУB) = x тИИ A and x тИЙ (AтАУB)
x тИИ A and x тИЙ (A тИй B)
= x тИИ A тИй (A тИй B)
= x тИИ (A тИй B)
= (A тИй B)
= RHS
Hence proved.
(iv) A тИк (B тАУ A) = A тИк B
Let us consider LHS A тИк (B тАУ A)
Let, x тИИ A тИк (B тАУA) тЗТ x тИИ A or x тИИ (B тАУ A)
тЗТ x тИИ A or x тИИ B and x тИЙ A
тЗТ x тИИ B
тЗТ x тИИ (A тИк B) (since, B тКВ (A тИк B))
This is true for all x тИИ A тИк (BтАУA)
тИ┤ A тИк (BтАУA) тКВ (A тИк B)тАжтАж (1)
Conversely,
Let x тИИ (A тИк B) тЗТ x тИИ A or x тИИ B
тЗТ x тИИ A or x тИИ (BтАУA) (since, B тКВ (A тИк B))
тЗТ x тИИ A тИк (BтАУA)
тИ┤ (A тИк B) тКВ A тИк (BтАУA)тАжтАж (2)
From 1 and 2 we get,
A тИк (B тАУ A) = A тИк B
Hence proved.
(v) (A тАУ B) тИк (A тИй B) = A
Let us consider LHS (A тАУ B) тИк (A тИй B)
Let, x тИИ A
Then either x тИИ (AтАУB) or x тИИ (A тИй B)
тЗТ x тИИ (AтАУB) тИк (A тИй B)
тИ┤ A тКВ (A тАУ B) тИк (A тИй B)тАж. (1)
Conversely,
Let x тИИ (AтАУB) тИк (A тИй B)
тЗТ x тИИ (AтАУB) or x тИИ (A тИй B)
тЗТ x тИИ A and x тИЙ B or x тИИ B
тЗТ x тИИ A
(AтАУB) тИк (A тИй B) тКВ AтАжтАжтАж. (2)
тИ┤ From (1) and (2), We get
(AтАУB) тИк (A тИй B) = A
Hence proved.