Question -
Answer -
(i)
दिया है, f ( x ) = x2 और f : N → N
(a)
f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ 
⇒ x1 =x2 ,
⇒ x1 =x2 ∈ N
f एकैकी है।
(b)
परन्तु सहप्रान्त में ऐसे कुछ अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
उदाहरणार्थ :
माना 3 सहप्रान्त में है तो 3 प्रान्त के किसी भी अवयव को प्रतिबिम्ब नहीं होगा।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अत:
f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।
(ii)
f (x) = x2 f : Z → Z , जबकि f (x) = x2
(a)
f (-1) = f (1) = 1 ⇒ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है।
∵ प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f-प्रतिबिम्ब 1 पर है।
∵ प्रतिबिम्ब समान है।
∴ f एकैकी नहीं है।
(b)
सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी अवयव में प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
उदाहरणार्थ-3
सहप्रान्त में है, परन्तु 3 प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अत:
f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
(iii)
f : R → R, यदि f (x) = x2
(a)
( -1 )2 = (1)2 = f (-1) = f (1)
अतः
-1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है। अर्थात् प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f- प्रतिबिम्ब 1 है। अर्थात् प्रतिबिम्ब समान है,
∴ f एकैकी नहीं है।
(b)
-2 सहप्रान्त में है परन्तु यह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
अत:
f आच्छादक नहीं है।
∴ f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।