Question - 11 : -
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिन्दुओं के समुच्चय में R : { ( P, Q : बिन्दु P की मूलबिन्दु से दूरी, बिन्दु Qकी मूलबिन्दु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P ≠ (0,0) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है।

Answer - 11 : -

दिया है, A समतल में बिन्दुओं को समुच्चय है। तथा R = { ( P, Q) : मूलबिन्दु से P तथा Q की दूरी समान है }

= { (P, Q) : OP = OQ}

1. R स्वतुल्य है, क्योंकि OP अपने ही बराबर है।

2. R सममित है, यक्योंकि OP = OQ ⇒ OQ = OP

3. R संक्रामक है, क्योंकि OP = OQ,

OQ = QR ⇒ OP =QR

1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

अत:

R तुल्यता सम्बन्ध है। चूँकि o मूलबिन्दु है तथा P वृत्त की परिधि पर रहता है अर्थात् यदि OP = K ⇒ बिन्दु P एक वृत्त पर रहता है जो 0 से K दूरी पर है। अतः बिन्दु P ≠ (0, 0) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है। (इति सिद्धम्)

Question - 12 : - सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = { (T₁ T₂): T₁ T₂, के समरूप है} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T₁ भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T_2, तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T₃ पर विचार कीजिए। T₁ T₂ और T₃ में से कौन-से त्रिभुज परस्पर सम्बन्धित हैं?

Answer - 12 : -

तुल्यता संबंध सिद्ध करने के लिए प्रश्नावली 1 (A) के प्रश्न 16 का हल देखें।

(i)
त्रिभुज , की भुजाएँ 3, 4, 5 हैं त्रिभुज T, की भुजाएँ 5, 12, 13 हैं तथा त्रिभुज T₃ की भुजाएँ 6, 8, 10 हैं। चूँकि त्रिभुज T₁, की भुजाएँ 3, 4, 5, त्रिभुज T₂, की भुजाओं 5, 12, 13 के समानुपाती नहीं है। इसी प्रकार त्रिभुज T₂ , की भुजाएँ 5, 12, 13 त्रिभुज T₃ की भुजाओं 6, 8, 10 के समानुपाती नहीं है, इसलिए ये त्रिभुज समरूप त्रिभुज नहीं होंगे।
पुनः
त्रिभुज T₃ तथा T₃ की भुजाएँ समानुपाती हैं, इसलिए यह समरूप त्रिभुज है।
अत:
त्रिभुज T₁ तथा T₃आपस में सम्बन्धित है।

Question - 13 : - सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = { (p₁, p₂): p₁, तथा p₂},की भुजाओं की संख्या समान है। प्रकार से परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 3,4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से सम्बन्धित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Answer - 13 : -

दिया है, A समस्त बहुभुजों का समुच्चय है। तथा R = { (p₁, p₂): p₁, p₂, की भुजाओं की संख्या बराबर है।
(i)

R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान होती है।
R सममित है, यदि बहुभुज p₁, p₂, की भुजाएँ n है तो बहुभुज p₂और p₁,की भुजाएँ भी n ही होंगी।
R संक्रामक है, यदि बहुभुज p₁, p₂ औरp₂, p₃ प्रत्येक की n भुजाएँ है तो p₁ और p₃ की भुजाएँ भी n ही होंगी।

अतः
1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं।
अतः
R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

(ii)
सभी त्रिभुजों का समुच्चय त्रिभुज T से सम्बन्धित है।

Question - 14 : - मान लीजिए कि X Y – तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = { (L_1,L₂): L₁ समान्तर है L₂ के } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है। रेखा y = 2 x + 4 से सम्बन्धित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Answer - 14 : -

दिया है, L किसी X Y- तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय है।
तथा R = { (L_1,L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के }
(i)

R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक रेखा अपने आप के समान्तर है।
R सममित है, यदि L₁रेखा, L₂ के समान्तर है तो L₂रेखा, L₁के भी समान्तर होगी।
R संक्रामक है, यदि L₁, L₂और L₂, L₃समान्तर रेखाएँ हैं तो L₁और L₃भी समान्तरे रेखाएँ होंगी।

अतः
1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः
R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
इति सिद्धम्

(ii)
माना y = 2 x + c, जबकि c का मान कुछ भी हो सकता है।
अतः
y = 2 x +4 से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय y = 2 x + c है।

Question - 15 : - मान लीजिए कि समुच्चय {(1, 2, 3, 4)} में, R = { (1, 2), (2, 2), (1,1), (4, 4), (1, 0, (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध में है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।
(A) R स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(B) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
(C) R सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(D) R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

Answer - 15 : -

दिया है, A = {1, 2, 3, 4}
तथा R = { (1, 2), (2, 2), (1, 1), 4, 4), (1, 3),(3, 3), (3, 2) }

R स्वतुल्य है, क्योकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R
R सममित नहीं है, क्योंकि (1,2) ∈ R परन्तु (2,1) ∉ R
R संक्रामक है, क्योंकि (1, 3) ∈ R,(3, 2) ∈ R = (1, 2) ∈ R

अत:
1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य तथा संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।
अत:
विकल्प (B) सही है।

Question - 16 : -
यदि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N में सम्क्न्ध में इस प्रकार है कि R = {(a, b) : a = b -2, b> 6} तो सही उत्तर चुनिए ।
(a) (2,4) ∈ R,
(b) (3, 8) ∈ R,
(c) (6, 8) ∈ R
(d) (8, 7) ∈ R

Answer - 16 : -

6 = 8 – 2, तथा 8 > 6

∴ (6, 8) ∈ R

अत: विकल्प (c) सही है।

Free - Previous Years Question Papers

Chapter 1 सम्बन्ध एवं फलन (Relations and Functions) Ex 1.1 Solutions

Subscribe Now!