Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity and Differentiability) Ex 5.5 Solutions
Question - 11 : - (x cos x)x + (xsin x)1/x
Answer - 11 : - माना y= (x cos x)x + (x sin x)1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 12 : - प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिएcos x.cos 2x.cos 3x
Answer - 12 : -
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 13 : - xy + yx = 1
Answer - 13 : - दिया है, ∵ xy + yx =1
माना u = xy, v = yx ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 14 : - yx = xy
Answer - 14 : - दिया है, yx = xy
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log yx =log xy
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 15 : - (cos x)y = (cos y)x
Answer - 15 : - दिया है, (cos x)y =(cos y)x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)y = log (cos y)x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 16 : - xy = e(x-y)
Answer - 16 : - दिया है, xy = e(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e(x-y)
या log x + log y = (x – y)loge e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ loge e =1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 17 : - f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
Answer - 17 : - दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x2)(1 + x4) (1 + x8)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)]
या log f(x) = log (1 + x) +log (1 + x2) + log (1 + x4) + log (1 + x8)
Question - 18 : - (x² – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
Answer - 18 : - (i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x2 –5x + 8). (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
Question - 19 : - यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।
Answer - 19 : - (i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
