Question -
Answer -
Let P (n) = 1 + 3 + 32 + тАУ тАУ тАУ тАУ + 3n тАУ1 = (3n тАУ 1)/2
Now, For n = 1
P (1) = 1 = (31 тАУ 1)/2 = 2/2 =1
P (n) is true for n = 1
Now, letтАЩs check for P (n) is true for n = k
P (k) = 1 + 3 + 32 + тАУ тАУ тАУ тАУ + 3k тАУ 1 =(3k тАУ 1)/2 тАж (i)
Now, we have to show P (n) is true for n = k + 1
P (k + 1) = 1 + 3 + 32 + тАУ тАУ тАУ тАУ + 3k =(3k+1 тАУ 1)/2
Then, {1 + 3 + 32 + тАУ тАУ тАУ тАУ + 3k тАУ 1}+ 3k + 1 тАУ 1
= (3k тАУ 1)/2 + 3k using equation (i)
= (3k тАУ 1 + 2├Ч3k)/2
= (3├Ч3 k тАУ 1)/2
= (3k+1 тАУ 1)/2
P (n) is true for n = k + 1
Hence, P (n) is true for all n тИИ N.